اعلان 1 اعلان 1 اعلان 1 اعلان 1 اعلان 1 اعلان 1


شرح بالتفصيل لحل معادلة الدرجة الثالثة والرابعة لمتغير واحد

الموضوع في 'ملتقى مادة الرياضيات' بواسطة saudnfaie, بتاريخ ‏2011-09-10.


  1. saudnfaie

    saudnfaie تربوي عضو ملتقى المعلمين

    58
    0
    6
    ‏2011-08-16
    معلم تحت المجهر
    السلام عليكم ورحمة الله وبركاتة

    شرح بالتفصيل لحل معادلات الدرجة الثالثة والرابعة لمتغير واحد

    الطريقة موجودة وفيه قانون عام لها

    وقدرت استنتجه وهو لحل المعادلة بدون اختزال او تعويض

    (احد يقدر يساعدني في نشرة بشرط اضمن الحق الفكري للقانون)

    على العموم انا حبيت انزل طريقة الايطالي اللي كان يحل المعادلة


    لكن و ليومك هذا مايدرون كيف فيراري اكتشفها وصار فيه غموض وشك وضاع
    المكتشف الحقيقي


    السيء في الموضوع انها اكتشفت ولم تثبت وتستنتج


    يعني هاااااك القوانين وحل مع ان القوانين صحيحة لكن كيف استنتجت؟؟؟؟؟؟


    تحس ان الشغلة فيها تكهن ؟؟



    لكن عندي الموضوع غير و مثبت وتم استنتاج قانون عام


    للدرجتين الثانية والثالثة


    وبالنسبة للدرجة الثانية الإستنتاج يختلف عن استنتاج طريقة إكمال المربع

    وسبحان الله ذهلت يوم طلع نفس القانون


    الطريقة ماراح انشرها لحد ما أضمن وصولها بطريقة سليمه


    والطريقة المعقدة اللي موجودة الآن بإسم الايطالي
    كاردانو!!!



    ==========================



    طريقة الحل

    المــعادلة العامة للدرجة الثالثة هي . .:

    [​IMG]

    والتي يمكن اختزالها إلى المعادلة
    [​IMG]

    بتعويض على الشكل ([​IMG]) حيث يمكن إيجاد أن [​IMG]
    نقوم الآن باستبدال آخر وهو ( x=u-v) ، وسنحصل على المعادلة :
    [​IMG]

    والتي يمكن وضعها على الشكل التالي :
    [​IMG]

    يمكننا أن نلاحظ أنه الطرف الأيسر يساوي الصفر إذا كان
    [​IMG]

    و
    [​IMG]

    من المعادلة الأولى يمكن أن نصل إلى أن
    [​IMG]

    وبالتعويض في المعادلة الثانية نحصل على :
    [​IMG]

    والتي يمكن وضعها على الصورة
    [​IMG]

    المعادلة الأخيرة تمثل معادلة تربيعية في ([​IMG]) ، والتي يمكن حلها بسهولة بقانون المعادلات التربيعية :
    [​IMG]

    وبالتعويض ، نوجد v :
    [​IMG]

    لذا :
    [​IMG]

    ويمكن الحصول على الحلول الأخرى بالقسمة على ( [​IMG]) .
    ملاحظة : يمكن اختصار الطريقة ، بتعويض على الشكل : [​IMG]
    بعد القسمة على ( [​IMG]) والمزيد من العمليات الجبرية نحصل على الصيغة العامة للحلول لأي معادلة :
    [​IMG]

    مميز المعادلة التكعيبية

    بالنظر إلى المعادلات السابقة يمكننا تعريف المميز بالشكل : [​IMG]
    إذا كان المميز موجباً فالمعادلة له حل حقيقي وحلان مركبان مترافقان
    إذا كان المميز سالباً فلها ثلاثة حلول حقيقية مختلفة
    إذا كان المميز صفراً ، فلها حل حقيقي ثلاثي ، أو حلان : أحدهما مكرر


     
  2. saudnfaie

    saudnfaie تربوي عضو ملتقى المعلمين

    58
    0
    6
    ‏2011-08-16
    معلم تحت المجهر
    شرح أخر :


    يمكن معرفة نوع الجذور من خلال مميز شبيه بمميز المعادلات من الدرجة الثانية

    لتكن المعادلة :

    ax3 + bx2 + cx + d = 0

    حيث المعاملات أعداد حقيقية

    المميز :

    [​IMG]

    و يمكن استنتاج الحالات التالية :

    Δ < 0 : المعادلة لها 3 جذور حقيقية مختلفة

    Δ > 0: المعادلة لها جذر حقيقي واحد و جذران مترافقان من الاعداد المركبة

    Δ = 0 : هنا على الأقل جذران يتطابقان ، يعني من الممكن أن يكون للمعادلة

    جذران حقيقيان متساويان و آخر حقيقي مختلف عنهما أو ان يكون للمعادلة

    3 جذور متساوية

    أما بالنسبة للحل فأشهر طريقة هي طريقة كاردانو الرياضي الايطالي ( 1501 - 1576 ) :

    [​IMG]

    باستخدام التعويض : t = x - a/3

    نتخلص من x2 :

    [​IMG]

    لنفرض أن بمقدورنا إيجاد الأعداد u و v بشرط :

    [​IMG]

    عندها يكون حل المعادلة : t = v - u

    يمكن التحقق من ذلك بتعويض t مباشرة في (2) أعلاه :

    [​IMG]

    الآن لإيجاد حل (3) : نوجد v بالنسبة لـ u :

    [​IMG]

    نعوضها في الاخرى :

    [​IMG]

    و يمكن حل الاخيرة هذه كمعادلة تربيعية في u3:

    [​IMG]

    الآن : t = v - u و t = x - a/3

    ينتج عن ذلك :

    [​IMG]


    ===============

    الدرجة الرابعة

    للعالم فراري




    الصورة العامة لمعادلة الدرجة الرابعة هي :
    [​IMG]
    ويمكننا اختزالها إلى المعادلة

    [​IMG]

    باستبدال مشابه لما تم عرضه في طريقة كاردانو ، وهو في هذه الحالة : [​IMG] ؟

    فكرة الحل تعتمد على تحويل المعادلة إلى فرق بين مربعين يمكن تحليله ، وبالتالي الحصول على معادلتين من الدرجة الثانية يمكن حلها بسهولة ، ولإجراء ذلك نقوم بإضافة وطرح حدين .. على الشكل :

    [​IMG]
    حيث (u) ثابت يمكن إيجاد قيمته لكي تصبح المعادلة على صورة فرق بين مربعين ، وبإعادة ترتيب الحدود :


    [​IMG]
    لكي يكون القوس الثاني يمثل مربعاً كاملاً ، يجب أن تتحقق العلاقة التالية:


    [​IMG]
    وبعد التربيع وفك الأقواس نحصل على المعادلة :


    [​IMG]
    وهذه هي معادلة تكعيبية في (u) يمكن حلها باستخدام طريقة كاردانو ، وإيجاد قيمة (u) ،

    بعد ذلك نقوم بالتحليل :
    [​IMG]


    [​IMG]
    حصلنا على معادلتين تربيعيتين نقوم بحلهما باستخدام قانون المعادلة التربيعية .



    ===========

    طبعا كلها تحتاج لخطوات اكثر وفي النهاية

    وبعد هذه وتلك هذا هو القانون العام وبطريقة مباشرة وبدون اختزال



    [​IMG]



    [​IMG]

    المحاولة القادمة هي حل معادلة من الدرجة الخامسة بمتغير واحد

    أسمح بنقل الموضوع

    كاتب البحث

    الاستاذ/ سعود النفيعي
     
  3. ولد النباهين

    ولد النباهين عضوية تميّز عضو مميز

    3,387
    0
    0
    ‏2009-02-10
    معلم
    مرحبا بك أستاذنا الفاضل ، نشجع مثل هذه الأفكار والفكر العالي

    وبإمكان مراسلة مؤسسة الملك عبد العزيز ورجاله للموهبة والإبداع

    أو موهبة

    يشرفنا مشاركتك في ملتقى المعلمين والمعلمات ، ونتطلع لجديد دائما ، ابقى معنا
     
  4. saudnfaie

    saudnfaie تربوي عضو ملتقى المعلمين

    58
    0
    6
    ‏2011-08-16
    معلم تحت المجهر
    اشكرك اخوي على الرد

    و لا حياة لمن تنادي

    انا لي عضوية في موقع المؤسسة من قبل 10 سنوات وكتبت مواضيع يقرونها ولايردون

    وفيه واحد عطاني نصيحة اروح للخارج واكتبها بإسم اي دولة على طول تمشي الأمور

    لكن انا صرت بين أمرين وودي تكون بإسم الوطن وللمعلومية محاولاتي من عام 1423

    يعني الناس وصلت القمر وانا ادور على حق فكري للقوانين!!!

    و ياليت اشوف جهه أخرى داخل المملكة غير المؤسسة لإن عرفت ان نشاطها محدود في الابتكارات اللي تخدمهم في الوقت الحالي ومايحسبون للمستقبل لإن الرياضيات معقدة بالنسبة لهم ومايقدرون حتى على دراسة اي نظرية والرسوم ياخذونها لهدف تجاري مع الشركات اللي تتبنى فكرة اي اختراع لكن تعطي شركة وطنية حل معادلة؟؟ وش تفيدهم في مصالحهم؟؟؟

    على العموم انا ابحث عن جهه رسمية وعن عالم سعودي في الرياضيات للأسف مالقيت الى الآن من هو مهتم في مجال الرياضيات وحصلت اشخاص لهم خبرة وماهم علماء ؟؟

    اشكرك اخوي على الرد
     
  5. kkaa123

    kkaa123 عضوية تميّز عضو مميز

    ‏2008-06-09
    معلم
    نسأل الله لك التوفيق
    وأن يحقق لك ما تتمنى